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Para tal representación cualquier punto es inmóvil; aceptando tal punto por el comienzo, llegamos al caso del diseñado para los espacios. Sale de aquí la existencia de tales representaciones, también su siguiente geométrico :

Que - el grupo, - su subgrupo, -, formado por las clases izquierdas adyacentes relativamente: los elementos de se aparecen equivalente, si hay un elemento, tal que; la clase de la equivalencia del elemento es la multitud de elementos del tipo, donde.

Atrás, si existen y, tales que, es posible presentar en el tipo, donde. Entonces el punto determinado por la condición, pertenece y, como es fácil ver. Esto demuestra que pertenece también, y no es vacío de ese modo.

Más abajo designamos a través de, dos los espacios, juntado respectivamente con por los espacios sobre los cuerpos cualesquiera. Daremos puramente geométrico de las representaciones del s. Para la claridad comenzaremos del caso de las representaciones.

En lugar de salir de las estructuras, se puede usar la relación de la equivalencia vinculada a la acción en: los LAMAS la esencia las clases de la equivalencia para esta relación, y llegamos a la definición siguiente equivalente:

. Para que la familia de los puntos de sea libre (. que engendra), es necesario y bastante que la familia sea libre (. Por la familia que forman) en el espacio

Notaremos que si es los LAMAS de la dimensión final en ℰ y - la referencia de nivel en, es decir la multitud de puntos con. Este modo es a menudo útil. En particular, la recta, que une dos puntos en ℰ, es la multitud de puntos.

Los cálculos de matriz mostrarían que para esta conformidad son observadas las reglas de la composición de las representaciones. Por otro lado, con la matriz (es convertible sólo cuando, cuando es convertible la matriz (y entonces se cumple la igualdad. Así, resulta

Es en este caso la multitud de puntos del espacio, tales que; por consiguiente, esto el hiperplano con la ecuación en la base. los espacios, que satisfacen a la condición, son aquel, que matriz en la base tiene el tipo

La interpretación. Fijamos en ℰ algún punto y abasteceremos, de las estructuras, aceptando por el comienzo en ℰ el punto, y en - el punto. Entonces será (respectivamente ) en aquel y solamente aquel caso, si - semilineal (es lineal respectivamente la representación ℰ el s.

El teorema Que - el espacio juntado con por el espacio por Affinnye (. las biyecciones en forman el grupo, que designamos (.). La representación (la parte lineal o semilineal) es el homomorfismo en y al grupo de las biyecciones semilineales en.

El modo corto de la prueba de la proposición es la aplicación de la proposición: hay una intersección de todos LOS LAMAS que contienen. ¡La falta de este razonamiento de lo que cae atraer familia ”toda LAMAS que contienen”, sobre que poco que es conocido que habitualmente hasta es innumerable!

El teorema Que - el espacio homogéneo juntado al grupo, y para cualquiera que - el grupo de la isotropía. Entonces hay una única biyección en, tal que para todos es cumplido, donde - la proyección canóniga y - la acción en.

La proposición Que, - dos los espacios sobre el mismo cuerpo y (respectivamente) – el hiperplano en (.), que no pasa a través del comienzo; designaremos (respectivamente) el hiperplano, paralelo (respectivamente).

Donde y. Además la correlación (lleva tras de sí y por eso (cm. La proposición. Atrás, si - el punto de, se encontrarán los puntos que pertenecen, y (con la suma no igual, tales que; esta correlación se inscribe también en el tipo

Pero hay una única representación lineal de en, que satisface a estas condiciones (es determinado por las restricciones en adicional y el espacio); entonces la restricción en - es la representación con la misma parte lineal así como, y que acepta en el mismo significado, así como, y de ese modo igual, sale de donde el resultado demostrado.

La prueba. Notaremos primero que la afirmación no es evidente, puesto que pueden existir los sistemas distintos de los puntos sopesados, tales que pero sale fácilmente de aquel hecho que para cualquier pareja es cumplida la correlación